선형대수학 1강. 벡터 공간

벡터

벡터란 크기(Magnitude)와 방향(Direction)이 정의된 값을 말합니다.

ex. 왼쪽(Direction)으로 2만큼(Magnitude) 움직였다 = 벡터

모든 벡터는 다음 두 성질을 지닙니다.

1. 벡터의 합 (Vector Addition)

\vec{z} = \vec{x} + \vec{y}

벡터끼리 서로 더할 수 있으며, 주로 평행사변형을 그려 계산합니다.

2. 스칼라와 벡터의 곱 (Scalar Multiplication)

t\vec{a}=t\cdot \vec{a}

벡터는 스칼라와 곱해질 수 있습니다. 이 때, $$t$$ 가 음수이면 벡터의 방향이 반대가 됩니다.

벡터(선형) 공간

정의: 장 $$F$$ 위의 공간 $$V$$ 가 다음과 같은 성질을 만족할 때, 이를 벡터 공간이라고 합니다.

$$V$$ 안의 임의의 원소 $\vec{x}$ , $\vec{y}$ 가 $\vec{x} + \vec{y}$ 가 $$V$$ 안에 존재한다.
$$V$$ 안의 임의의 원소 $\vec{x}$ 와 $$F$$ 안의 임의의 원소 $$t$$ 에 대해 $t\vec{x}$ 가 $$V$$ 안에 존재한다.

(위에서 본 벡터의 두가지 성질과 일치합니다.)

즉, 우리는 이렇게 다시 말할 수 있습니다.

벡터 공간이란, 벡터합과 스칼라곱에 대해 닫혀있는 (Closed) 모든 집합을 말한다.

Q. ‘닫혀있다 (Closed)‘라는건 무슨 뜻일까요?
A. 어떤 집합에서 임의의 원소를 이용해 계산을 했을 때, 그 계산 결과가 집합 안에 포함되어 있을 때, 이를 ‘닫혀있다’ 라고 표현합니다.
ex. $\mathbb{R}$ : 실수 전체의 집합이라고 했을 때 모든 $a, b \in \mathbb{R}$ 에 대해 $a+b \in \mathbb{R}$ , 즉 두 수를 더했을 때 그 결과를 $\mathbb{R}$ 안에서 찾을 수 있습니다.
이 때, 공간 $\mathbb{R}$ 은 $$a+b$$ 연산(덧셈)에 대해 닫혀있다 라고 합니다.

벡터 공간에는 다음과 같은 성질이 존재합니다. (복잡해보이지만 매우 간단하고 자명합니다.)

모든 $x, y \in V$ 에 대해 $$x+y = y+x$$ . (덧셈의 교환법칙)
모든 $x, y, z \in V$ 에 대해 $$(x+y)+z = x+(y+z)$$ . (덧셈의 결합법칙)
$x+\mathbb{0}=x$ 를 만족하는 $\mathbb{0}$ 이 $$V$$ 에 존재. (원소 0)
모든 $x \in V$ 에 대해 $x+y = \mathbb{0}$ 을 만족하는 $$y$$ 가 $$V$$ 에 존재. (음수인 원소)
모든 $x\in V$ 에 대해 $$1x=x$$ . (1과의 곱셈)
모든 $a, b \in F$ 와 $x \in V$ 에 대해 $$(ab)x=a(bx)$$ . (곱셈의 결합법칙)
모든 $a \in F$ 와 $x, y\in V$ 에 대해 $$a(x+y) = ax + ay$$ . (스칼라의 분배법칙)
모든 $a, b \in F$ 와 $x \in V$ 에 대해 $$(a+b)x = ax + bx$$ . (벡터의 분배법칙)

Q. 장 $$F$$ 란 무엇인가요?
A. 수학에서 $$F$$ (Field)란, 연산 가능한 모든 수의 집합을 말합니다. $\mathbb{R}$ 라고 생각하셔도 괜찮습니다.
부가설명: $$F$$ 는 ‘모든 스칼라들의 세계’라고 표현할 수 있습니다.
ex. $\mathbb{R} \in F$ , $\mathbb{C}\in F$ (복소수), $\mathbb{F}_{p}\in F$ (유한체)

벡터 공간의 예시

지금부터는 대표적인 벡터 공간들과 그 특징들에 대해 알아보겠습니다.

사실상 제일 중요한 부분이며, 우리의 목표는
‘대부분의 문제는 벡터 공간으로 표현 가능하다’
는 것을 이해하는 것입니다.

n-tuples (n-튜플)

n-tuple이란, n개의 실수가 모여있는 집합을 말합니다.

\mathbb{R}^n = \{x_1,x_2, \dots,x_n\}

이 때, n-tuple은 벡터 공간입니다.

Proof:

$(x_1, \dots, x_n) + (y_1, \dots, y_n) = (x_1+y_1, \dots , x_n+y_n)$
$c(x_1, \dots, x_n) = (cx_1, \dots, cx_n)$
즉, 덧셈과 스칼라곱에 대해 닫혀있습니다.

우리는 선형대수학을 배우면서 이 n-tuples에 대한 계산을 많이 다루게 될 것입니다.

특히, 이 n-tuples들은 모든 원소를 가로로 적은 Column Vector의 형태로 표현합니다.

\mathbb{R}^n=(x_1, x_2, \dots,x_n)^T

복소수집합 (Complex Numbers)

모든 복소수 $$a+bi$$ 가 모인 집합 $\mathbb{C}$ 은 벡터공간입니다.

Proof:
1. $$(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$$
2. $$t(a+bi) = at+bti$$
즉, 덧셈과 스칼라곱에 대해 닫혀있습니다.

여기서 중요한 것은, $\mathbb{C}$ 는 특히 $\mathbb{R}^2$ 위의 벡터 공간이라는 점입니다.

즉, 모든 복소수는 벡터의 형태로 표현할 수 있습니다.
복소평면(Argand Plane) 은 이 특징에서 시작됩니다.

다항식 (Polynomials)

1. 최고차가 n차인 다항식

$$x$$ 를 변수로 가지는, 최고차가 n차인 다항식의 집합을 $P_n(\mathbb{R})$ 이라고 정의합시다. 즉,

P_n({\mathbb{R}}) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0

이 때, $P_n(\mathbb{R})$ 은 벡터공간입니다. 즉, 덧셈과 스칼라곱에 대해 닫혀있습니다.
(증명은 생략하겠습니다. 직접 해보시기 바랍니다.)

여기서 중요한 점은, $P_n(\mathbb{R})$ 는 $\mathbb{R}^{n+1}$ 과 동형(Isomorphic) 이라는 것입니다.

즉, 모든 n차 다항식은 (n+1)차원 벡터라고 생각해도 된다는 뜻입니다.

(선형대수의 꽃인 행렬을 소개할 때 연립방정식이 나오는 이유가 이 곳에 있습니다.)

Q. 동형(Isomorphic)이 무엇인가요?
A. 쉽게 설명하자면, 서로 같은(동) 형태(형)를 가진다는 뜻입니다.
정확한 정의를 보면 이러합니다:
어떤 벡터공간 $$V$$ , $$W$$ 가 서로 일대일대응이며, 덧셈과 스칼라곱에 대해 닫혀있는 선형변환이 두 공간 사이에 존재할 때, 이 두 공간이 서로 ‘동형’이라고 말합니다.
즉, $v \in V$ , $w \in W$ , $c\in \mathbb{R}$ 에 대해:
1. $$f(v+w)=f(v)+f(w)$$ , $$f(cu)=cf(u)$$ (Linear)
2. 서로 Bijection (Surjective + Injective)가 성립
다음 두 조건이 성립하면 $$V$$ 와 $$W$$ 는 동형입니다.

2. (차수의 상관 없이) 모든 형태의 다항식

최고차에 상관없이 모든 다항식 종류의 집합을 $P(\mathbb{R})$ 라고 정의합시다. 즉,

P(\mathbb{R})=\bigcup\limits_{n=0}^{\infty}P_n(\mathbb{R})

이 때, $P(\mathbb{R})$ 은 벡터공간입니다.

(물론 $P_n(\mathbb{R})$ 보다는 사이즈가 훨씬 큰, 무한한 벡터공간(차수가 무한대일 수 있으므로)입니다.)

함수

위에서는 함수의 굉장히 작은 예시에 불과한 다항식이 벡터공간임을 보였습니다.

이제는 더욱 더 넓은, $x+\text{sin}(x)$ 같은 모든 함수를 기준으로 벡터공간인지 확인해봅시다.

1. 모든 연속함수의 집합

모든 연속함수가 모인 집합을 $C(\mathbb{R})$ 라고 정의합시다. 이 때, 이 집합은 벡터공간입니다.

(증명: 일반화로 증명하는 것은 어렵기에, $x+\text{sin}(x)$ 와 같은 예시로 확인해보는 것을 추천드립니다.)

이 또한 $P(\mathbb{R})$ 와 마찬가지로 무한한 벡터공간입니다. (하지만 크기는 더욱 더 큽니다)

이를 셀 수 있는 무한함 (Countably Infinite) 이라고 표현합니다.

2. 정의역이 정의된 모든 연속함수의 집합

모든 연속함수의 집합은 벡터공간이므로, 정의역이 특수하게 정의된 연속함수들은 어떨까요?

예를 들어, $$y=x$$ 와 $$y=|x|$$ 는 엄연히 다른 함수입니다. 그러나 두 함수의 정의역이 $0 \lt x \lt 1$ 라면, 두 함수는 완전히 동일해집니다.

정의역이 $a \lt x \lt b$ 으로 주어진 모든 연속함수의 집합을 $$C([a, b])$$ 라고 표현합시다.

이 때, $$C([a, b])$$ 는 벡터공간입니다.

3. 모든 함수의 집합

2번을 통해 우리는 모든 함수 (연속이든 아니든)를 정의할 수 있습니다.

모든 함수들의 집합을 $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ 라고 정의합시다.

이 집합은 이런 이상한 함수도 들어갈 수 있습니다.

f(x) = 1 \text{ if }x\in\mathbb{Q}\text{, 0 if }x\notin\mathbb{Q}